Bayes Teoremi-Koşullu Olasılık Nedir?

 
Bayes Teoremi nedir?
Olasılık teorisi içinde incelenen bir 'olay olarak B olayına koşullu bir A olayı (yani B olayının bilindiği halde A olayı) için olasılık değeri, A olayına koşullu olarak B olayı (yani A olayı bilindiği haldeki B olayı) için olasılık değerinden farklıdır. Ancak bu iki birbirine ters koşulluluk arasında çok belirli bir ilişki vardır ve bu ilişkiye  Bayes Teoremi denilmektedir.
Bayes teoremi bir stokastik süreç sırasında ortaya çıkan bir rastgele olay A ile bir diğer rastgele olay B (eğer B için kaybolmamış olasılık varsa) için koşullu olasılıkları ve marjinal olasılıkları arasındaki ilişkidir.
Koşullu olasılıklar ve ön olasılıklar içeren bu teoremde genel olarak şöyle bir formül kullanılır:
P(A|B)= [ P(B|A). P(A) ] / P(B)
P(A|B) = B olayı gerçekleştiğinde A olayının gerçekleşme olasılığı
P(A) = A olayının gerçekleşme olasılığı
P(B|A) = A olayı gerçekleştiğinde B olayının gerçekleşme olasılığı
P(B) = B olayının gerçekleşme olasılığını ifade eder.
 
Koşullu olasılık ve şans
Loto’yu kazanmak gibi birçok şeyin saf şansla gerçekleştiği bir dünyada yaşıyoruz. Fakat gerçek şu ki, gündelik birçok şeyin meydana gelme olasılığı, önceden meydana gelmiş diğer olaylardan büyük ölçüde etkilenmektedir. Matematik dünyasında, bu fikre “koşullu olasılık” olarak değinilmektedir. Olasılık bir şeyin meydana gelme şansına bir sayı veren matematiksel bir süreçtir. Bir yazı tura attığımızda, zamanla meydana gelen bir olayın sıklığını gözlemleyebiliriz.   
Bu, daha sonra 2’ye 1’lik bir “frekans olasılığı” vermek için olası olayların sayısıyla karşılaştırılabilir. Ancak olayların adil olma olasılığını bulmak istediğiniz zaman çok farklı bir matematiksel olasılığa ihtiyaç duyarsınız. Bu Bayes teoremidir. Bu teorem günlük hayatta sıkça kullanılmaktadır. Günlük hayatta, bilinçli kararlar vermemize yardımcı olmak için, anılarımızdan ve deneyimlerimizden önceki bilgilere güvenmemiz gerekir. Bunun nedeni, yaşamın dinamik olması, ilgili bilgilerin sürekli değişmesidir. Araba kapısını açıp araba anahtarlarının yanınızda olmadığını anladığınızda neler olduğunu düşünün.Genelde, araba anahtarlarınızı kapının arkasındaki bir askından ya da çalışma masanızdaki çekmeceden çıkartabilirsiniz. Eviniz olduğu gerçeği size araba anahtarlarının işte olmadığını söylüyor.
 
Neden verilen bir etkinin olasılığı nedir?
Yani garaja geri dönüp kapının yanındaki kanca için düz gitmeniz gerekir. Bu durumda, genellikle ofis masasının çekmecesinde ya da kapıdaki kancada bulunan anahtarlara ilişkin önceden bildiklerinizi birleştirerek, bulunduğunuz yeri daraltmak için evde olmanız gerekir. Anahtarlar kapını arkasındaki kancada değilse, devam eden aramanız için anahtarlarınızı daha önce evde bırakmış olduğunuz yerlere ilişkin önceden bildiğiniz bilgileri kullanırsınız. Dondurucuya koymak ya da çamaşır makinesinin içine atmak gibi olma ihtimali olmayan yerleri hariç tutarak, anahtarlarınızı bulana kadar aramanızı daraltabilirsiniz. Anahtarlarınız için yapılan bu aramada, ön bilgi ve ilgili güncel bilgilerin bir kombinasyonunu kullanıyorsunuz.Bu, Bayes olasılığının arkasındaki kesin mantıktır. Bayes olasılığının öncüsü Thomas Bayes adında bir İngiliz istatistikçiydi.18. yüzyılda olasılık hakkında yeni bir düşünce biçimi geliştirdi ve Bayes teoremi olarak bilinen şeyin öncülünü formüle etti. O zamanlar genel soru “neden verilen bir etkinin olasılığı nedir?” Sorusuna çözüm bulmak yaygındı. Fakat “bir etki verilen bir olasılığın olasılığı nedir?” sorusuna bir çözüm üretilmiyordu.
 
Ters olasılık problemi
O dönemlerde buna ters olasılık problemi deniyordu. Bayes buna bir çözüm buldu. Bayes olasılığı, gözlemleyemediğimiz değişkenleri içeren soruları yanıtlamada yardımcı olabilir.Bir madeni para atmak ve tura almak, gözlemlenen bir değişken olarak düşünülebilirken, madalyonun “adaleti” ni gözlemleyemeyiz. Bir madeni paranın adil olma olasılığını çözmek yerine, madeni paranın adil olma olasılığını ortaya çıkarmak için, madeni paranın 2 olasılıktan hangisini verdiğiyle ilgili önceki bilgilere dayanmak zorunda kalınacaktır. Adil olduğu olasılığını tahmin etmek için ilgili güncel bilgileri (daha yakın tarihli madeni para atışlarının sonuçları) ele almak gerekecektir. Bayesin olasılık formülasyonu, yıllar boyunca birçok farklı alanda sorulara cevap vermeye yardımcı olmuştur.Örneğin, yakın ve yaygın olarak kullanılan bir uygulama, spam filtrelemesiydi. Bayes teoremi, bir e-posta mesajının spam olup olmadığının tahmin etmesine yardımcı olur. İkinci Dünya Savaşı sırasında, İngiliz kod yazarı Alan Turing, “kırılmaz” Enigma kodunun çatlamasına yardımcı olmak için Bayes teorisine dayanan bir sistem geliştirdi.Bir mesajdaki bir dizi harfin tahmin edilmesi için sistemi kullanmış, bu da olasılıkların hesaplanmasına ve yeni mesajların geldiği varsayımlarının gözden geçirilmesine yol açmıştır.
Bayes’in bu teoremi istatistiklere öncülük etmesine rağmen bilim insanı ancak ölümünden sonra tanınabilmiştir. Bayes’in teoremi Richard Price tarafından yayınlanmış ve duyurulmuştur. Bayes ve Price’dan sonra bu alana katkıda bulunan Pierre SimonLaplace oldu. Bayes teoremi dünyanın en zor problemlerinden bazılarını çözmek için kullanılsa da, iyi haber şu ki bu türden bir düşünceyi her gün uygulamak için bir matematikçi olmanıza gerek yok. Muhtemelen bunu zaten uyguluyorsunuz.
Kaynaklar
1.https://en.wikipedia.org/wiki/Bayes%27_theorem 
2.https://www.abc.net.au/news/science/2018-09-19/bayes-theorem-probability-luck-explained/10243134
3.Video- Veritasium-https://www.youtube.com/watch?v=R13BD8qKeTg
4.http://beyinsizler.net/farkina-varmadan-her-gun-kullandiginiz-matematiksel-formul-bayes-teoremi/