Banach Tarski Teoremi (Paradoksu)

 
Banach Tarski Teoremi (Paradoksu) nedir?
Banach-Tarski Teoremi bizim de bir örneğinde yaşamakta olduğumuz Öklid uzayında şunu yapmanın mümkün olduğunu ifade ediyor :
- İçi dolu bir küre öyle sonlu sayıdaki parçalara ayrılabilir ki, bunları (hiç eğip bükmeden, yalnızca öteleyip döndürerek) yeniden bir araya getirdiğimizde aynı küreden iki tane elde edebilirsiniz.
- Kürenin çapı ne olursa olsun, küreyi sonlu sayıda parçaya ayırıp parçaları yeniden bir araya getirerek istediğiniz büyüklükte bir küre elde edebilirsiniz.
Ve bu parçalamalarda küreyi en az 5 parçaya ayırdığımızda bunun yapılabileceği belirtiliyor.
Neden yanlış anlaşılıyor?
Sonsuz miktarda nokta içeren kürelerle ilgili bir teoridir. Yanlış anlaşılmasının sebebi teoremin metrik uzaylarda hatta bildiğimiz 3 boyutlu öklid uzayında da geçerli olduğunu öğrenince bunun içinde yaşadığımız uzay ile aynı olduğunu algılamamız. Gerçekte sonsuz miktarda atom/temel parçacık içeren bir küre yoktur. eğer öyle bir küre bulursanız Banach Tarski teoremini kullanarak kürenizi ikiye katlayabilirsiniz hatta sonsuz miktarda yeni küre oluşturabilirsiniz. Ancak sonunda yine sonsuz miktarda atomunuz olacak. Burada en çok dikkat edilmesi gereken nokta küremizin içinde yalnızca sonsuz tane değil, sayılamaz sonsuz miktarda (doğal sayıların sayısından fazla) nokta içermesi.
Bu konuda Georg Cantor`un "diagonal argument"ide yardımcı oluyor.[kaynak]
En basit haliyle sonsuzu ikiye böldüğümüzde elimizde yine sonsuz kalıyor veya sonsuz sayıda eleman içeren iki kümeyi birleştirdiğimizde elimizde yine sonsuz sayıda eleman olacak. Bu temel gerçekliği kabul ettikten sonra Banach Tarski teoremini de kabul etmek oldukça kolaylaşacaktır.
Aslen sonsuzluğun insanın ürünü olduğunu doğrulayan kendi içinde tutarlı teoridir. 
Banach-Tarski paradoksuyla ilgili bulabileceğiniz en kapsamlı kaynaklardan bir tanesi Stan Wagon'ın "The Banach-Tarski Paradox"[kaynak] isimli kitabıdır. Kitapta bu teoremin ve çeşitli varyasyonlarının kanıtını tüm detaylarıyla bulabilirsiniz.
 
Bu teoremin seçim aksiyomuyla ilişkisi nedir?

Kanıtın bir noktasında bir kümeler ailesinin boş olmayan her elemanından bir eleman seçiyoruz ve bunu yapabilmek için seçim beliti gerekiyor. Peki bu teoremi kanıtlamak için seçim belitini kesinlikle kullanmamız gerekli mi, yoksa bu teoremi sadece ZF aksiyomları ile kanıtlamak mümkün olabilir mi? Belki de ZF içerisinde bizim henüz bulamadığımız başka bir kanıt vardır?
Bu soruların cevabı ne yazık ki hayır. Banach- Tarski paradoksundaki bazı parçalar mecburen Lebesgue ölçülemez olmak zorundadır (aksi halde 1=2 olduğunu gösterip çelişki kanıtlardık). Yani Banach-Tarski paradoksunu kanıtlayabiliyorsanız ölçülemez bir kümenin olduğunu da kanıtlayabiliyorsunuz demektir.
Öte yandan Robert Solovay göstermiştir ki [kaynak] eğer ZFC+"Erişilemez [kaynak] bir kardinal vardır" teorisi tutarlı ise ZF+DC [kaynak] +"Gerçel sayıların her alt kümesi ölçülebilirdir" teorisi de tutarlıdır. Dolayısıyla, Banach-Tarksi paradoksu ZF+DC teorisi içerisinde kanıtlanamaz (eğer ZFC+"Erişilemez bir kardinal vardır" teorisi tutarlı ise). Makalenin kendisine erişmek için buraya [kaynak] bakabilirsiniz.
Stan Wagon'ın "The Banach-Tarski Paradox"a 13. bölümüne bakarsanız ZF+DC'nin Banach-Tarski paradoksunu kanıtlamaya yeterli olmadığını sadece ZF'nin tutarlı olduğu varsayımı altında da kanıtlayabileceğinizi görebilirsiniz.

 
Kaynaklar,
1.https://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2%80%93Tarski_paradox
2.Video-Vsauce-https://www.youtube.com/watch?v=s86-Z-CbaHA