Özel Görelilik -Ahırdaki Sırık Paradoksu
İngilizcede Barn-Pole Paradox yada The ladder paradox diye geçmektedir.
Aslında paradoks değildir."Lorentz dönüşümleri" olabilirliği sebebiyle öyle adlandırılmaktadır.Rölativistik hızlarda Einstein uzay-zaman'ı, gözlemciye göreli biçimde lorentz faktörüyle orantılı olarak kütleyi, uzayı (boyutu) ve zamanı değiştirir. kütle artar, zaman yavaşlar, boyut hız vektörü doğrultusundaki bileşkesiyle orantılı olarak kısalır.
Uzunluk büzülmesi olayının ilk bakışta çelişkiliymiş gibi görünen yönü, bu kısalmanın karşılıklı olması. Yani, birbirlerine gören hareket eden iki cisimdeki gözlemciler, kendi cisimlerinin normal boyunda, diğerininse kısalmış olduğunu söyler.
İki gözlemcinin cisimlerin boyları konusunda farklı görüş sahibi olması bir çelişki olması için yeterli değil. Farklı gözlemcilerin, çevrelerindeki olayları farklı şekilde görmesi, özellikle görelilik kuramında sıkça karşılaşılan, olağan bir durum. Asıl yanıtlamamız gereken soru şu: Bu farklılıkları kullanarak gerçekten çelişkili, hiç olmaması gereken bir durum yaratabilir miyiz? Cevap hayır. Burada, uzunluk büzülmesi olayını temel alarak böyle çelişkili bir sonuç yaratma amacıyla tasarlanmış bir düşünce deneyini inceleyeceğiz.
Düşünce deneyimiz şöyle:Tam ahırın boyu kadar olan bir sırık taşıyan sırıkla atlamacı, ışık hızına yakın bir hızla ön ve arka kapıları açık olan ahıra doğru gidiyor. Acaba sırık tam içeride iken iki kapıyı da kapatabilir miyiz, yoksa kapatamaz mıyız ?
Boyu 20 metre olan bir sırık ve içinde 10 metre boşluk olan bir ahırımız var. Amacımız sırığı ahırın içine kapatmak. Bunu, sırığı usulca ahıra sokarak da yapabiliriz. Ama biz, sırığın ahıra doğru yüksek bir hızla fırlatıldığını varsayacağız. Kolay hesap olması açısından da, hızı ışık hızının %87’si olarak alacağız. Deneyi iki farklı gözlem çerçevesinden incelediğimizde, sırığın ahıra kapatılması konusunda farklı cevaplar elde ederiz.
Önce ahıra göre düşünelim.
Bu gözlem çerçevesinde, ahır yerinde sabit duruyor ve sırık hareket ediyor. Bu nedenle ahırın boyu 10 metre,sırığın boyuysa, uzunluk büzülmesinden dolayı 10 metre. Öyleyse sırığın hepsi ahıra girebilir. Sırığın en arkası kapı hizasını geçtikten sonra herhangi bir anda kapı rahatlıkla kapatılabilir. Bunun için sırığın ucunun ahırın dibine çarpması da beklenebilir. Burada ahırın çok sağlam olduğunu, çarpışma nedeniyle zarar görmediğini varsayacağız. Çarpışma sırığa büyük zarar verebilir ama bu sorumuzun cevabı için önemli değil. Sonuç olarak: Ahıra göre, çubuğu ahıra sığdırmak ve kapıyı kapatmak mümkün.
Şimdi de aynı süreci sırığa göre inceleyelim.
Bu gözlem çerçevesinde sırık yerinde duruyor ve ahır da sırığa doğru hareket ediyor. Bu nedenle, sırık 20 metre, ahırda da uzunluk büzülmesinden dolayı 10 metre. O halde, ahırın arka duvarı sırığa çarpsa bile, hiçbir şekilde sırığı tamamen ahırın içine almak mümkün olamaz.
Sonuç olarak: Sırığa göre, sırığı ahıra sığdırıp kapıyı kapatmak mümkün değil.
Peki hangisi doğru? Buradaki iki gözlemci, son durumda sırığın ahır içinde olup olmadığı, kapının kapanıp kapanmadığı konusunda görüş birliği içinde değiller. Bu gerçek bir çelişki. Önemli olan nokta şu: Farklı gözlemciler iki cismin hangisinin kısa olduğu konusunda görüş birliği içinde olmayabilirler. Bunda herhangi bir sorun yok. Ama bütün gözlemciler, somut bir olayın olup olmaması konusunda görüş birliği içinde olmalı. Bu örnekteki somut olay ahırın kapısının kapanması. Ya bütün gözlemciler kapının kapandığını görmeli, ya da bütün gözlemciler kapanamadığını. Bu konuda görüş farklılıkları kabul edilemez. Dolayısıyla, buradaki analizlerimizden bir tanesi yanlış olmalı.
Ama hangisi?
Şimdi dikkatli bir şekilde hangi gözlem çerçevesine göre analizimizin yanlış olduğuna, neyi gözden kaçırdığımıza bakalım. Ahıra göre analizimizde herhangi bir hata yok. Sırık ahıra sığıyor ve kapı kapanıyor. Dolayısıyla, bütün gözlemcilere göre de kapı kapanabilir olmalı. O halde, sırığa göre yaptığımız analizi yeniden gözden geçirelim. Sırığın ön ucu ahıra çarptığı anda, sırığın arka ucu hala ahırın dışında. Bu nedenle, eğer kapı gerçekten kapanıyorsa, kapının kapanması çarpışmadan daha sonra olmalı.
Bu nedenle, bu gözlemciye göre çarpışmadan sonra meydana gelen olaylar dizisini de incelememiz gerekiyor. Çarpışma nedeniyle ahırın yavaşlaması, sırığın da sağa doğru hızlanması gerekir. Ama, çarpışmanın etkisinin aynı anda ahırın ve sırığın sağ ucunda hissedilmesi mümkün değil. Bunun nedeni, bütün fiziksel etkilerin uzayda yayılma hızlarının ışık hızını geçememesi.
Örneğin, elinizde çok uzun, 1 ışıkyılı boyunda bir çubuk olsun. Yani, ışığın çubuğun bir ucundan öbür ucuna gitmesi tam bir yıl sürsün. İlk başta durağan olan bu çubuğun bir ucuna çekiçle vurduğunuzda, diğer uç en erken 1 yıl sonra ileri itilir. Aslında bu örnekte, vurmanın çubukta meydana getirdiği sıkışma gibi fiziksel değişimler çubuk üzerinde ses hızıyla yayılır. Fakat ses hızı her zaman ışık hızından düşük olduğu için, diğer ucun en erken ne zaman itileceği konusundaki sonucumuz değişmez. Bu ilk 1 yıl boyunca çubuğun diğer ucu sanki hiçbir şey olmamış gibi durağan durumunu korur.
Paradoksumuza geri dönersek,çarpışmanın etkisi, (kırılma, hızlanma ve yavaşlama) ahır ve sırık üzerinde en fazla ışık hızıyla yayılır. Bu süreç boyunca, ahırın sağdaki ucu aynı sabit hızla hareketine devam eder. Ve yine bu süreç boyunca sırığın sağ ucu yerinde kalmaya devam eder. Bir süre sonra, çarpışmanın etkisi ahırın sağ ucuna erişmeden çok önce, kapı sırığın arka uç hizasını geçer ve kapı kapatılabilir.
Dolayısıyla, her iki gözlemciye göre de kapı kapatılabilir. Ama, sırığa göre analizimizde çarpışmadan sonraki süreci de izlememiz gerekiyor.
Burada da, zamanın göreliliği önem taşıyor. İki “olay” söz konusu. Bunlardan birincisi, sırığın ön ucunun ahıra çarpması. Buna A olayı diyelim. İkinci olay da, sırığın arka ucunun kapı hizasını geçmesi. Buna da B olayı diyelim. Ahıra göre, B olayı (yani arka ucun kapi hizasını geçmesi) A olayından önce meydana geliyor. Bu sağlandığı için de sırık ahıra sığar, kapı kapanabilir diyebiliyoruz.
Sırığa göreyse, A olayı B olayından sonra meydana geliyor. Yani, kapı çarpışmadan sonra kapanıyor. Bu gözlemci olayları farklı bir şekilde görüyor, ama kapının kapanması konusunda yine aynı sonuca ulaşıyor. Görelilik kuramında, iki olayın farklı gözlemcilere göre farklı zaman sıralarıyla oluşması oldukça olağan bir durum. Bu paradoksta, aslında bu olasılığı gözden kaçırdığımız için sanki bir çelişki varmış gibi bir izlenime kapıldık.
Kısaca sonucumuzu özetleyelim. Birbirlerine göre hareket eden iki özdeş cismin hangisinin daha kısa olduğu konusunda bütün gözlemciler görüş birliği içinde değiller. Bu oldukça garip, sağduyumuza ters bir durum; ama bir çelişki değil. Ahira sırık sığdırma paradoksunda, bu görüş farklılıklarından yararlanarak bir çelişki yaratmaya çalıştık. Ama başarılı olamadık. Uzay ve zamanın birbirlerine bağımlı doğasından dolayı, farklı gözlemciler olayları çok farklı biçimlerde görür. Ama, somut sonuçlar söz konusu olduğunda her zaman görüş birliği içindeler.
Kapılar açılmazsa ne olur?
Jim Al-Khalili’nin paradox adlı kitabında uzunca açıklanan durum. Herkesin aklına gelen ‘kapılar açılmazsa ne olur’ sorusunu da ezber bozan bir yanıt ile açıklamış yazar. Özetle görelilik kuramındaki mesafe/boy kısalması bir algı yanılsaması değil, referans seviyesinin gerçekliğinde oluşmuş fiziksel bir hadisedir diyor yazar ve kapıların kapalı kaldığı durumda iki referans seviyesine göre de sırık sıkışır kalır, ahıra sığar diyor.
Einstein`dan benzer Tren deneyi
Einstein, Özel Görelilik Kuramı ile bu tanımın dışına çıkarak, zamanın göreli olduğunu göstermek için bir düşünce deneyi tasarladı. Bu deneyde, sabit v hızıyla giden bir trenin iki ucuna yıldırım düşer ve bu yıldırımlar hem vagonda (A’ ve B’) noktaları hem de vagonun üzerinde ilerlediği zeminde (A ve B noktaları) kalıcı izler bırakır (Şekil 1 – a).Bu sırada birisi vagonda (O’ noktasında), diğeri de aynı hizada olacak şekilde yerde (O noktasında) bulunan iki gözlemci bu olayları rapor ederler.
Sağ taraftan gelen yıldırımın ışığı vagondaki adama daha önce gelir. Yerdeki adama ise ışıklar eş zamanlı gelir.
Şekil 1 – b’de görüldüğü gibi, yıldırım düşmesiyle oluşan ışıklar, yerdeki gözlemciye aynı anda ulaşır. Buna karşılık,vagondaki gözlemciye ise vagonun hareket ettiği yönden gelen yıldırım ışığı daha önce, arka taraftan gelen ise daha sonra ulaşır. Bu durumda yerdeki gözlemci, yıldırımların A ve B noktalarına aynı anda düştüğünü rapor ederken, vagondaki gözlemci, yıldırımın B’ noktasına A’ noktasından daha önce düştüğünü rapor edecektir. Bu düşünce deneyi, eylemsiz referans sistemlerinde olan iki gözlemciye göre gerçekleyen iki olaydan birisinin eş zamanlı (yerdeki) gerçekleşirken, diğerinin eş zamanlı gerçekleşmeyeceğini (vagondaki) gösterir.
Diğer bir düşünce deneyinde, yine sabit v hızıyla düz raylar üzerinde gitmekte olan bir vagonun tavanının orta yerine bir aynayı zemine bakacak şekilde yapıştıralım. Vagon giderken, tavana dik duran bir lazer ışık kaynağından bir ışık ışınını bu aynaya gönderelim. Vagon içerisindeki gözlemciye (O) görelazer ışığı tavana dik vurupΔt0 sürede geri yansır (Şekil 2-a).Δt0zaman aralığına has zaman veya öz zaman denir.
Bu gözlemciyle, başlangıçta, aynı hizada vagon dışında yerde duran bir gözlemciye (O’) göreyse bu ışık Şekil 2- b’de görüldüğü gibi aynaya belli bir açıyla çarpıp yansıyacaktır. Bu sürede vagon v.Δt kadar yol alır. Her iki gözlemci için ışık hızının büyüklüğü aynı ve c olduğundan, yerdeki gözlemciye (O’) göre ışık daha uzun mesafe kat ettiğinden bu gözlemcinin ölçtüğü zaman (Δt), vagondakine göre daha uzun olacaktır. Sonuç olarak farklı referans sistemindeki iki gözlemci için aynı olayın gerçekleşme süreleri farklı olur. Bu da zamanın mutlak olmadığını açıkça göstermektedir.
Şekil 2’de gösterilen olaylarda farklı ölçülen bu iki zaman arasında bir bağıntı bulmak için alınan yolları veren denklemler yazılır ve gerekli işlemler yapılırsa, Δt0 ve Δt arasında;
γ her zaman 1’den büyük değerler alacağı için durgun bir gözlemcinin belli bir olay için ölçeceği zaman aralığı (Δt), hareketli gözlemcinin aynı olay için ölçeceği zaman aralığından (Δt0) daha uzun olur. Bu duruma zaman genişlemesi denir.
Zaman genişlemesi ile ilgili hayal kurarak geliştirdiğimiz düşünce deneyinden başka elimizde ne var? Diye bir soru aklımıza gelebilir. Acaba günlük yaşamda, bilim insanlarının tespit ettiği somut bir örnek var mıdır?
Bu sorulara cevap olarak, kozmik ışınların atmosferin üst katmanlarındaki atomlara çarpmasıyla oluşan müonları örnek verebiliriz. Dünyadaki bir laboratuvarda yavaş hareket eden müonların ömrü laboratuvar referans sistemindeki bir gözlemci tarafından ölçülürse, yaklaşık 2.2 µs kadardır. Müonların hızları, atomlarla kozmik ışınlarla gerçekleşen çarpışmanın etkisiyle, ışık hızına yakın hızlara ulaşır. 0,98c hızda giden bir müon yok olana kadar, atmosferden dünyaya doğru sürekli düşey doğrultuda gittiğini varsayarsak, kat edeceği yol yaklaşık 646 m dir. Ancak yapılan deneyler çok sayıda müonun yeryüzüne ulaştığını göstermektedir. Bu olay ancak zaman genişlemesi etkisi açıklayabilir. Yani, yeryüzündeki bir gözlemciye göre müonun ömrü daha uzun süreceğinden daha uzun mesafe kat etmekte ve yeryüzüne ulaşabilmektedir. 0,98c hız için γ= 5 olur. Dünyadaki gözlemci için müonun ömrü de Δt = γ. Δt0 bağıntısından, Δt= 5 . 2,2 µs = 11 µs bulunur. Hız ile çarparsak, x = 0,98 . 3 . 108 . 11 . 10-6 = 3234 m bulunur.
b-)Uzunluğun göreliliği
Özel Görelilik Kuramı’nın varsayımlarının diğer sonucu, hareketli ve durgun gözlemciler tarafından ölçülen uzunlukların göreceli değerler almasıdır. Bu sonucu irdelemek için bir yıldızdan başka bir yıldıza v hızıyla giden bir uzay aracı düşünelim. Dünyaya ve yıldızlara göre durgun olduğunu kabul ettiğimiz bir gözlemci dünyada, diğer gözlemcimiz de yıldızlar arası seyahat eden uzay aracımızda olsun. Dünyadaki gözlemcinin çeşitli astronomik yöntemlerle bu iki yıldız arasındaki mesafeyi doğrudan ölçtüğü uzunluğa L0, has veya öz uzunluk denir. Dünyadaki bu gözlemciye göre uzay aracının gidiş yolculuğunu tamamlaması için geçecek süre,
Zaman genişlemesi etkisiyle, uzay gemisindeki gözlemci bu süreyi daha kısa ölçer;
Bu nedenle, yaptığı yolculuk boyunca kat ettiği mesafeyi de daha kısa ölçer;
Sonuç olarak, iki yıldız arasındaki uzunluğu ışık hızına yakın hızda giden bir uzay aracındaki gözlemci daha kısa ölçer.
Bu çıkarımın diğer bir uygulamasında, dünyadaki durgun gözlemci bir uzay aracının boyunu dünyadaki istasyonundayken L0ölçerken, aynı uzay aracı hareket halindeyken, uzay aracının boyunu L olarak, yani daha kısa ölçer.
Bir tenis topunun hareket doğrultusundaki uzunluğu hızı arttıkça kısalır
Altta Science ABC`nin konu hakkındaki detaylı videosunu Türkce altyazı seçeneğiyle izleyebilirsiniz.
Kaynaklar
1.https://en.wikipedia.org/wiki/Barn-pole_paradox
2.https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_transformation
3.https://de.scribd.com/document/106592429/Paradox-by-Jim-Al-Khalili-Excerpt
4.Video-Science ABC-https://www.youtube.com/watch?v=yuD34tEpRFw
5.https://en.wikipedia.org/wiki/Relativity_of_simultaneity
6.https://www.fizikbilimi.gen.tr/ozel-gorelilik/
